Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год

Обозначим через $[x]$ наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа $x$. Докажите, что число $\left[ \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \right]$ является четным при любом натуральном $n$.

Комментарий/решение

Примечание: в задача решается почти вся с помощью теоремы Вильсона

можно перезаписать в виде $\dfrac{(n-1)!}{n}+\dfrac{n!}{n+1}-(n-1)!$ Этому числу третий элемент четен при $n>3$ подобрав $n=1,2,3,4$ заметим всегда $=0$ оба перввых два слагаемых имеют вид $(k-1)!/k$ если $m$ не простое и не является квадратом простого числа то запишем $k=ab$ тогда $1<a<b<m$ то есть $(m-1)!\equiv 0 \pmod{ab}$ и еще один четный сомножитель $\Rightarrow \dfrac{(m-1)!}{m}$ четное

Пусть теперь $m$ простое по теореме $(m-1)!\equiv -1\pmod {m}$$\Rightarrow \dfrac{(m-1)!+1}{m}$ целое нечетное число $\Rightarrow \dfrac{(m-1)!}{m}$ четное число откуда изначальная целая часть числа четное

Примечание :сложность задачи в этом разложении $\dfrac{(n-1)!}{n}+\dfrac{n!}{n+1}-(n-1)!$