Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл
Біз [x] арқылы x нақты санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз. Онда [(n−1)!n(n+1)] саны кез келген натурал n саны үшін жұп болатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Примечание: в задача решается почти вся с помощью теоремы Вильсона
можно перезаписать в виде (n−1)!n+n!n+1−(n−1)! Этому числу третий элемент четен при n>3 подобрав n=1,2,3,4 заметим всегда =0 оба перввых два слагаемых имеют вид (k−1)!/k если m не простое и не является квадратом простого числа то запишем k=ab тогда 1<a<b<m то есть (m-1)!\equiv 0 \pmod{ab} и еще один четный сомножитель \Rightarrow \dfrac{(m-1)!}{m} четное
Пусть теперь m простое по теореме (m-1)!\equiv -1\pmod {m}\Rightarrow \dfrac{(m-1)!+1}{m} целое нечетное число \Rightarrow \dfrac{(m-1)!}{m} четное число откуда изначальная целая часть числа четное
Примечание :сложность задачи в этом разложении \dfrac{(n-1)!}{n}+\dfrac{n!}{n+1}-(n-1)!
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.