Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл
Комментарий/решение:
(a2+2)(b2+2)=3(1+(a+b)22)+(ab−1)2+(a−b)22≥3(1+(a+b)22)
Коши-Буняковский теңсіздігінен: (1+(a+b)22)(c2+2)≥(√1⋅c2+√(a+b)22⋅2)2=(a+b+c)2
Соңғы екі теңсіздіктен (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2 теңсіздігін аламыз.
Ал 3(a+b+c)2=9(ab+bc+ca)+32((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)≥9(ab+bc+ca)
Шешуі:
I жағдай.
Егер a≥1 және b≤1 болса (немесе керісінше), онда Чебышев теңсіздігі бойынша
(а2+2)(b2+2)=(a2+1+1)(b2+1+1)≥3(a2+b2+1)
Ары қарай Коши-Буняковский :
(а2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a2+b2+1)(1+1+c2)≥3(a+b+c)2≥9(ab+bc+ac)
II жағдай.
Егер a≤1 және b≤1 болса (немесе керісінше), онда Бернулли теңсіздігі бойынша
(a2−13+1)(b2−13+1)(c2+23)≥(a2−13+b2−13+1)(c2+23)=(a2+b2+13)(c2+23)
Ары қарай Коши-Буняковский:
(a2+b2+13)(c2+1+13)≥(a+b+c)29≥3(ab+bc+ac)9⇒
⇒(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ac)
III жағдай.
Егер a≥1 және b≥1 болса (немесе керісінше), онда белгілі
∀x,y≥0(x+1)(y+1)≥x+y+1
теңсіздігі бойынша
(a2−13+1)(b2−13+1)(c2+2)≥(a2−13+b2−13+1)(c2+2)
Ары қарай Коши-Буняковский:
(a2+b2+13)(c2+1+1)≥(a+b+c)23≥ab+bc+ac⇒
⇒(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ac)
Дəлелдеу керегі де осы болатын.
Мынаның барлығын ашқан адам өмірден тұнылып a2b2c2-ны қайда салатынын білмей қалады. Бірақ сол кезде негізі тек бір теңсіздік ойға келуі керек, ол Шура теңсіздігі, соған келіп көрейік.
Барлығын ашайық: (!)a2b2c2+2(a2b2+b2c2+a2c2)+4(a2+b2+c2)+8≥9(ab+bc+ac)
Мынау осылай болатынын кішкентай бала да біледі: 2(a2b2+b2c2+a2c2)+6≥4(ab+bc+ac) және 3(a2+b2+c2)≥3(ab+bc+ac) (AM≥GM)
Осыны дәлелдеу қалады: (!)a2b2c2+a2+b2+c2+1+1≥2(ab+bc+ac), енді осы моментте біз Шура теңсіздігіне жақындап қалдық, эстетикалық purposes үшін осындай subsitution жасайық: a2=x3,b2=y3,c2=z3 енді осылай болып кетті: (!)x3+y3+z3+(xyz)3+1+1≥2(√x3y3+√y3z3+√z3x3)
Анау (xyz)3+1+1 3xyz тен үлкен қылдыршы деп сұрап тұрғо, сол үшін солай жасайық:(!)x3+y3+z3+3xyz≥2(√x3y3+√y3z3+√z3x3)
Енді Шураға да қолымыз жетті, салайық: x3+y3+z3+3xyz≥∑x2y,
(!)∑x2y≥2(√x3y3+√y3z3+√z3x3)
Ал бұл изи ғой, x2y+xy2≥2√x3y3, осылай барлығына қолданып шығайық.
Расскроем скобки и выйдет, (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)⇒a2b2c2+8+2(a2b2+b2c2+a2c2)+4(a2+b2+c2)≥9(ab+bc+ca)
По AM ≥ GM, a2b2+1≥2ab, подставляя выйдет что: a2b2c2+2+4(a2+b2+c2)≥5(ab+bc+ca)
Известно, что a2+b2+c2+33√a2b2c2≥2(ab+bc+ca), ведь 33√a2b2c2≥9abca+b+c, что легко доказывается по AM ≥ GM, а потом подставляя предположим что: a2+b2+c2+9abca+b+c≥2(ab+bc+ca), где дальше легко доказывается по Schur Inequality
Тоесть, 5(a2+b2+c2)+153√a2b2c22≥5(ab+bc+ca), попытаемся доказать что, 2(a2b2c2+2+4(a2+b2+c2))≥5(a2+b2+c2)+153√a2b2c2,
по AM ≥ GM, 3(a2+b2+c2)≥93√a2b2c2, а еще 2(abc)2+2+2≥63√a2b2c2, потом суммируем и выйдет что и требовалось доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.