Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл


Кез келген a,b,c>0 нақты сандары үшін (a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ca) теңсіздігін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
8 года 5 месяца назад #

пред. Правка 2   4
5 года 1 месяца назад #

(a2+2)(b2+2)=3(1+(a+b)22)+(ab1)2+(ab)223(1+(a+b)22)

Коши-Буняковский теңсіздігінен: (1+(a+b)22)(c2+2)(1c2+(a+b)222)2=(a+b+c)2

Соңғы екі теңсіздіктен (a2+2)(b2+2)(c2+2)3(a+b+c)2   теңсіздігін аламыз.

Ал   3(a+b+c)2=9(ab+bc+ca)+32((ab)2+(bc)2+(ca)2)9(ab+bc+ca)

  1
5 года 1 месяца назад #

Өте əдемі шешім!

  0
5 года 1 месяца назад #

Шешуі:

I жағдай.

Егер a1 және b1 болса (немесе керісінше), онда Чебышев теңсіздігі бойынша

(а2+2)(b2+2)=(a2+1+1)(b2+1+1)3(a2+b2+1)

Ары қарай Коши-Буняковский :

(а2+2)(b2+2)(c2+2)3(a2+b2+1)(1+1+c2)3(a+b+c)29(ab+bc+ac)

II жағдай.

Егер a1 және b1 болса (немесе керісінше), онда Бернулли теңсіздігі бойынша

(a213+1)(b213+1)(c2+23)(a213+b213+1)(c2+23)=(a2+b2+13)(c2+23)

Ары қарай Коши-Буняковский:

(a2+b2+13)(c2+1+13)(a+b+c)293(ab+bc+ac)9

(a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ac)

III жағдай.

Егер a1 және b1 болса (немесе керісінше), онда белгілі

x,y0(x+1)(y+1)x+y+1

теңсіздігі бойынша

(a213+1)(b213+1)(c2+2)(a213+b213+1)(c2+2)

Ары қарай Коши-Буняковский:

(a2+b2+13)(c2+1+1)(a+b+c)23ab+bc+ac

(a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ac)

Дəлелдеу керегі де осы болатын.

  2
4 года 8 месяца назад #

Неравенство (a2+2)(b2+2)3(a2+b2+1), неверно при a1,b1, например:a=2,b=12.

пред. Правка 2   2
2 года 2 месяца назад #

Мынаның барлығын ашқан адам өмірден тұнылып a2b2c2-ны қайда салатынын білмей қалады. Бірақ сол кезде негізі тек бір теңсіздік ойға келуі керек, ол Шура теңсіздігі, соған келіп көрейік.

Барлығын ашайық: (!)a2b2c2+2(a2b2+b2c2+a2c2)+4(a2+b2+c2)+89(ab+bc+ac)

Мынау осылай болатынын кішкентай бала да біледі: 2(a2b2+b2c2+a2c2)+64(ab+bc+ac) және 3(a2+b2+c2)3(ab+bc+ac) (AMGM)

Осыны дәлелдеу қалады: (!)a2b2c2+a2+b2+c2+1+12(ab+bc+ac), енді осы моментте біз Шура теңсіздігіне жақындап қалдық, эстетикалық purposes үшін осындай subsitution жасайық: a2=x3,b2=y3,c2=z3 енді осылай болып кетті: (!)x3+y3+z3+(xyz)3+1+12(x3y3+y3z3+z3x3)

Анау (xyz)3+1+1 3xyz тен үлкен қылдыршы деп сұрап тұрғо, сол үшін солай жасайық:(!)x3+y3+z3+3xyz2(x3y3+y3z3+z3x3)

Енді Шураға да қолымыз жетті, салайық: x3+y3+z3+3xyzx2y,

(!)x2y2(x3y3+y3z3+z3x3)

Ал бұл изи ғой, x2y+xy22x3y3, осылай барлығына қолданып шығайық.

  0
2 года назад #

Сөз қолданысың ұнады :)))

пред. Правка 2   0
1 года 2 месяца назад #

Расскроем скобки и выйдет, (a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ca)a2b2c2+8+2(a2b2+b2c2+a2c2)+4(a2+b2+c2)9(ab+bc+ca)

По AM GM, a2b2+12ab, подставляя выйдет что: a2b2c2+2+4(a2+b2+c2)5(ab+bc+ca)

Известно, что a2+b2+c2+33a2b2c22(ab+bc+ca), ведь 33a2b2c29abca+b+c, что легко доказывается по AM GM, а потом подставляя предположим что: a2+b2+c2+9abca+b+c2(ab+bc+ca), где дальше легко доказывается по Schur Inequality

Тоесть, 5(a2+b2+c2)+153a2b2c225(ab+bc+ca), попытаемся доказать что, 2(a2b2c2+2+4(a2+b2+c2))5(a2+b2+c2)+153a2b2c2,

по AM GM, 3(a2+b2+c2)93a2b2c2, а еще 2(abc)2+2+263a2b2c2, потом суммируем и выйдет что и требовалось доказать

  8
1 года 2 месяца назад #

Решение неверно, так как вы уменьшили число 33a2b2c2, и тогда знак следующего неравенства неизвестно.

пред. Правка 2   0
1 года 2 месяца назад #

Можно поподробнее?

Я показал что 33a2b2c29abca+b+c, а потом предположил что a2+b2+c2+9abca+b+c2(ab+bc+ca) что оказалось верным

  8
1 года 2 месяца назад #

Извините, я изначально не понял что вы это предположили.

пред. Правка 2   0
1 года 2 месяца назад #

Окей, щяс исправлю чтобы не путались остальные