Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год

Задача №1.  Пусть $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ являются действительными числами, такими что многочлен $p(x) = x^8 - 4x^7 + 7x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$ разлагается на восемь линейных сомножителей $x - x_i$, где $x_i > 0$ при всех $i = 1, 2, \dots, 8$. Найдите всевозможные значения числа $f$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №2.  Пусть $ABCD$ является квадратным куском картонной бумаги с длиной стороны равной $a$. На плоскости лежат две прямые $\ell _1$ и $\ell_2$, расстояние между которыми также равно $a$. Квадрат $ABCD$ расположили на плоскости таким образом, что стороны $AB$ и $AD$ пересекают $\ell_1$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Также стороны $CB$ и $CD$ пересекают $\ell_2$ в точках $G$ и $H$ соответственно. Пусть периметры треугольников $AEF$ и $CGH$ равны $m_1$ и $m_2$ соответственно. Докажите, что при любом расположении квадрата сумма $m_1 + m_2$ остается постоянной.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $k \geq 14$ является натуральным числом и $p_k$ является наибольшим простым числом, которое в точности меньше $k$. Вы можете положить, что $p_k \geq \frac{3k}{4}$. Пусть $n$ является составным числом. Докажите, что
(а) если $n = 2pk$, то $(n-k)!$ не делится на $n$;
(б) если $n > 2pk$, то $(n-k)!$ делится на $n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $a$, $b$, $c$ являются длинами сторонами треугольника, где $a + b + c = 1$, и пусть $n \geq 2$ является натуральным числом. Докажите, что \[\sqrt[n]{{{a}^{n}}+{{b}^{n}}}+\sqrt[n]{{{b}^{n}}+{{c}^{n}}}+\sqrt[n]{{{c}^{n}}+{{a}^{n}}} < 1+\frac{\sqrt[n]{2}}{2}.\]
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Даны два натуральных числа $m$ и $n$. Найдите наименьшее натуральное число $k$, такое что среди любых $k$ людей, либо найдутся $2m$ людей которые образуют $m$ взаимно знакомых пар, либо найдутся $2n$ людей которые образуют $n$ взаимно незнакомых пар.
комментарий/решение

---