Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ ,

$f$ нақты сандары

$p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ көпмүшелігі сегіз сызықтық

$x-x_i$ көбейткіштеріне жіктелетіндей етіп алынған және әрбір

$i=1, 2, \ldots, 8$ үшін

$x_i > 0$ екені белгілі.

$f$ санының мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Картон қағаздан қабырғасының ұзындығы

$a$ -ға тең

$ABCD$ квадраты қиылып алынған. Жазықтықта ара қашықтығы осы

$a$ -ға тең

$l_1$ және

$l_2$ түзулері берілген.

$ABCD$ квадратын жазықтыққа орналастырған кезде,

$l_1$ түзуі оның

$AB$ және

$AD$ қабырғаларын сәйкес

$E$ және

$F$ нүктелерінде қиып өтті. Сол сияқты,

$l_2$ түзуі квадраттың

$CB$ және

$CD$ қабырғаларын сәйкес

$G$ және

$H$ нүктелерінде қияды.

$AEF$ және

$CGH$ үшбұрыштарының периметрлерін сәйкес

$m_1$ және

$m_2$ деп белгілесек, квадраттың қалай орналасқанына қарамастан

$m_1+m_2$ қосындысы тұрақты сан болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бізге

$k \geq 14$ болатын

$k$ натурал саны және

$k$ -дан қатаң кіші жай сандардың ең үлкені болатын

$p_k$ саны берілген. Сіз

$p_k \geq 3k/4$ деп есептей беруіңізге болады. Ал

$n$ құрама сан болсын. Онда,
(a) егер

$n=2p_k$ болса,

${(n-k)!}$ саны

$n$ -ға бөлінбейтінін;
(b) егер

$n > 2p_k$ болса,

${(n-k)!}$ саны

$n$ -ға бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер

$a$ ,

$b$ ,

$c$ бір үшбұрыштың қабырғалары және

$a+b+c=1$ болса, онда әрбір

$n \geq 2$ натурал саны үшін

$\sqrt[n]{{{a}^{n}}+{{b}^{n}}}+\sqrt[n]{{{b}^{n}}+{{c}^{n}}}+\sqrt[n]{{{c}^{n}}+{{a}^{n}}}<1+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Бізге

$m$ және

$n$ натурал сандары берілсін. Мына шартты қанағаттандыратын ең кіші

$k$ санын табыңдар: кез келген

$k$ адамның ішінен немесе екі-екіден өзара таныс адамдардың

$m$ парын құратын

$2m$ адам, немесе екі-екіден өзара бейтаныс адамдардың

$n$ парын құратын

$2n$ адам табылады.
комментарий/решение(1)

результаты