Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Есеп №1. $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ нақты сандары $p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ көпмүшелігі сегіз сызықтық $x-x_i$ көбейткіштеріне жіктелетіндей етіп алынған және әрбір $i=1, 2, \ldots, 8$ үшін $x_i > 0$ екені белгілі. $f$ санының мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №2. Картон қағаздан қабырғасының ұзындығы $a$-ға тең $ABCD$ квадраты қиылып алынған. Жазықтықта ара қашықтығы осы $a$-ға тең $l_1$ және $l_2$ түзулері берілген. $ABCD$ квадратын жазықтыққа орналастырған кезде, $l_1$ түзуі оның $AB$ және $AD$ қабырғаларын сәйкес $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтті. Сол сияқты, $l_2$ түзуі квадраттың $CB$ және $CD$ қабырғаларын сәйкес $G$ және $H$ нүктелерінде қияды. $AEF$ және $CGH$ үшбұрыштарының периметрлерін сәйкес $m_1$ және $m_2$ деп белгілесек, квадраттың қалай орналасқанына қарамастан $m_1+m_2$ қосындысы тұрақты сан болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Бізге $k \geq 14$ болатын $k$ натурал саны және $k$-дан қатаң кіші жай сандардың ең үлкені болатын $p_k$ саны берілген. Сіз $p_k \geq 3k/4$ деп есептей беруіңізге болады. Ал $n$ құрама сан болсын. Онда,
(a) егер $n=2p_k$ болса, ${(n-k)!}$ саны $n$-ға бөлінбейтінін;
(b) егер $n > 2p_k$ болса, ${(n-k)!}$ саны $n$-ға бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер $a$, $b$, $c$ бір үшбұрыштың қабырғалары және $a+b+c=1$ болса, онда әрбір $n \geq 2$ натурал саны үшін $\sqrt[n]{{{a}^{n}}+{{b}^{n}}}+\sqrt[n]{{{b}^{n}}+{{c}^{n}}}+\sqrt[n]{{{c}^{n}}+{{a}^{n}}}<1+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5. Бізге $m$ және $n$ натурал сандары берілсін. Мына шартты қанағаттандыратын ең кіші $k$ санын табыңдар: кез келген $k$ адамның ішінен немесе екі-екіден өзара таныс адамдардың $m$ парын құратын $2m$ адам, немесе екі-екіден өзара бейтаныс адамдардың $n$ парын құратын $2n$ адам табылады.
комментарий/решение

---