Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год


Пусть a, b, c, d, e, f являются действительными числами, такими что многочлен p(x)=x84x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f разлагается на восемь линейных сомножителей xxi, где xi>0 при всех i=1,2,,8. Найдите всевозможные значения числа f.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
4 года 11 месяца назад #

Из теоремы Виета

x1x2x3x4x5x6x7x8=f

B=8i=1xi=4

A=8i,j=1xixji=7

Тогда возведя в квадрат A2=8i=1x2i+2B или 8i=1x2i=1614=2

Оценив через ср Ар и ср Геом 8i=1x2i88f2 откуда f1256 или 0<f1256

пред. Правка 2   2
4 года 8 месяца назад #

.

  0
2 года 11 месяца назад #

спасибо этой задаче и решению. благодаря ему, я неделю до области познакомился с теоремой виета для многочленов!!

пред. Правка 2   5
4 года 8 месяца назад #

Заметим, что 8i=1x2i=(8i=1xi)21i<j82xixj=422×7=2

Тогда 0=8×242=8(8i=1x2i)(8i=1xi)2=81i<j8(xixj)2 откуда xixj=0,0i<j8xi=xjxi=12f=1256