Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл


a, b, c, d, e, f нақты сандары p(x)=x84x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f көпмүшелігі сегіз сызықтық xxi көбейткіштеріне жіктелетіндей етіп алынған және әрбір i=1,2,,8 үшін xi>0 екені белгілі. f санының мүмкін мәндерін табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
5 года назад #

Из теоремы Виета

x1x2x3x4x5x6x7x8=f

B=8i=1xi=4

A=8i,j=1xixji=7

Тогда возведя в квадрат A2=8i=1x2i+2B или 8i=1x2i=1614=2

Оценив через ср Ар и ср Геом 8i=1x2i88f2 откуда f1256 или 0<f1256

пред. Правка 2   2
4 года 9 месяца назад #

.

  0
3 года назад #

спасибо этой задаче и решению. благодаря ему, я неделю до области познакомился с теоремой виета для многочленов!!

пред. Правка 2   5
4 года 9 месяца назад #

Заметим, что 8i=1x2i=(8i=1xi)21i<j82xixj=422×7=2

Тогда 0=8×242=8(8i=1x2i)(8i=1xi)2=81i<j8(xixj)2 откуда xixj=0,0i<j8xi=xjxi=12f=1256