Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год
Задача №1. Пусть a, b, c, d, e, f являются действительными числами, такими что многочлен p(x)=x8−4x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f
разлагается на восемь линейных сомножителей x−xi, где xi>0 при всех i=1,2,…,8. Найдите всевозможные значения числа f.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Пусть ABCD является квадратным куском картонной бумаги с длиной стороны равной a.
На плоскости лежат две прямые ℓ1 и ℓ2, расстояние между которыми также равно a.
Квадрат ABCD расположили на плоскости таким образом, что стороны AB и AD пересекают ℓ1
в точках E и F соответственно. Также стороны CB и CD пересекают ℓ2 в точках G и H
соответственно. Пусть периметры треугольников AEF и CGH равны m1 и m2 соответственно.
Докажите, что при любом расположении квадрата сумма m1+m2 остается постоянной.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть k≥14 является натуральным числом и pk является наибольшим простым числом,
которое в точности меньше k. Вы можете положить, что pk≥3k4.
Пусть n является составным числом. Докажите, что
(а) если n=2pk, то (n−k)! не делится на n;
(б) если n>2pk, то (n−k)! делится на n.
комментарий/решение(1)
(а) если n=2pk, то (n−k)! не делится на n;
(б) если n>2pk, то (n−k)! делится на n.
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть a, b, c являются длинами сторонами треугольника, где a+b+c=1, и пусть n≥2
является натуральным числом. Докажите, что
n√an+bn+n√bn+cn+n√cn+an<1+n√22.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Даны два натуральных числа m и n. Найдите наименьшее натуральное число k,
такое что среди любых k людей, либо найдутся 2m людей которые образуют m
взаимно знакомых пар, либо найдутся 2n людей которые образуют n взаимно незнакомых пар.
комментарий/решение
комментарий/решение