Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год


Задача №1.  Пусть a, b, c, d, e, f являются действительными числами, такими что многочлен p(x)=x84x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f разлагается на восемь линейных сомножителей xxi, где xi>0 при всех i=1,2,,8. Найдите всевозможные значения числа f.
комментарий/решение(4)
Задача №2.  Пусть ABCD является квадратным куском картонной бумаги с длиной стороны равной a. На плоскости лежат две прямые 1 и 2, расстояние между которыми также равно a. Квадрат ABCD расположили на плоскости таким образом, что стороны AB и AD пересекают 1 в точках E и F соответственно. Также стороны CB и CD пересекают 2 в точках G и H соответственно. Пусть периметры треугольников AEF и CGH равны m1 и m2 соответственно. Докажите, что при любом расположении квадрата сумма m1+m2 остается постоянной.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть k14 является натуральным числом и pk является наибольшим простым числом, которое в точности меньше k. Вы можете положить, что pk3k4. Пусть n является составным числом. Докажите, что
(а) если n=2pk, то (nk)! не делится на n;
(б) если n>2pk, то (nk)! делится на n.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть a, b, c являются длинами сторонами треугольника, где a+b+c=1, и пусть n2 является натуральным числом. Докажите, что nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+n22.
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Даны два натуральных числа m и n. Найдите наименьшее натуральное число k, такое что среди любых k людей, либо найдутся 2m людей которые образуют m взаимно знакомых пар, либо найдутся 2n людей которые образуют n взаимно незнакомых пар.
комментарий/решение
результаты