Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год
Пусть a, b, c являются длинами сторонами треугольника, где a+b+c=1, и пусть n≥2
является натуральным числом. Докажите, что
n√an+bn+n√bn+cn+n√cn+an<1+n√22.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x,y,z отрезки касательных, a=x+y,b=y+z,c=x+z тогда x+y+z=12
S=n√(x+y)n+(y+z)n+n√(y+z)n+(x+z)n+n√(x+z)n+(x+y)n
По неравенству Минковского
S≤n√xn+yn+n√yn+zn+n√zn+xn+n√2(x+y+z)≤n√xn+yn+n√yn+zn+n√zn+xn+n√22
Но так как
n√xn+yn≤x+y
Тогда
S≤n√xn+yn+n√yn+zn+n√zn+xn+n√22<2(x+y+z)+n√22=1+n√22
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.