Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год


Пусть a, b, c являются длинами сторонами треугольника, где a+b+c=1, и пусть n2 является натуральным числом. Докажите, что nan+bn+nbn+cn+ncn+an<1+n22.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 10 месяца назад #

x,y,z отрезки касательных, a=x+y,b=y+z,c=x+z тогда x+y+z=12

S=n(x+y)n+(y+z)n+n(y+z)n+(x+z)n+n(x+z)n+(x+y)n

По неравенству Минковского

Snxn+yn+nyn+zn+nzn+xn+n2(x+y+z)nxn+yn+nyn+zn+nzn+xn+n22

Но так как

nxn+ynx+y

Тогда

Snxn+yn+nyn+zn+nzn+xn+n22<2(x+y+z)+n22=1+n22

  0
1 года 10 месяца назад #

abc болсын.

1=a+b+c>2a  a<12

nan+bnn2an=an2<n22

0<x1  n1+xn1+xn1+x2<1+x2

  n1+(ca)n<1+c2a,  n1+(cb)n<1+c2b

nan+cn+nbn+cn<(a+c2)+(b+c2)=1

  nan+cn+nbn+cn+nan+bn<1+n22