Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл
Картон қағаздан қабырғасының ұзындығы a-ға тең ABCD квадраты қиылып алынған. Жазықтықта ара қашықтығы осы a-ға тең l1 және l2 түзулері берілген. ABCD квадратын жазықтыққа орналастырған кезде, l1 түзуі оның AB және AD қабырғаларын сәйкес E және F нүктелерінде қиып өтті. Сол сияқты, l2 түзуі квадраттың CB және CD қабырғаларын сәйкес G және H нүктелерінде қияды. AEF және CGH үшбұрыштарының периметрлерін сәйкес m1 және m2 деп белгілесек, квадраттың қалай орналасқанына қарамастан m1+m2 қосындысы тұрақты сан болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть Y∈CD∩l1 и X∈l2, XY⊥l2 также пусть CG=x,CH=y,AE=m,AF=n из подобия CGH,AFE получается mx=ny (1) так же из подобия CGH,HXY следует HX=ayx аналогично DY=m(a−n)n из условия учитывая (1) получается m1+m2=x+y+√x2+y2+m2+n2+√n2+m2=(√x2+y2+x+y)(n+x)x=N
По теореме Пифагора в треугольнике XHY получается a2+a2y2x2=(a(x+y)−y(n+x))2x2 преобразовав a⋅√x2+y2=a(x+y)−y(n+x) или a=y(n+x)x+y−√x2+y2 избавляясь от иррациональности 2a=(x+y+√x2+y2)(n+x)x=N
Ответ m1+m2=2a
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.