Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл


Картон қағаздан қабырғасының ұзындығы a-ға тең ABCD квадраты қиылып алынған. Жазықтықта ара қашықтығы осы a-ға тең l1 және l2 түзулері берілген. ABCD квадратын жазықтыққа орналастырған кезде, l1 түзуі оның AB және AD қабырғаларын сәйкес E және F нүктелерінде қиып өтті. Сол сияқты, l2 түзуі квадраттың CB және CD қабырғаларын сәйкес G және H нүктелерінде қияды. AEF және CGH үшбұрыштарының периметрлерін сәйкес m1 және m2 деп белгілесек, квадраттың қалай орналасқанына қарамастан m1+m2 қосындысы тұрақты сан болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
5 года назад #

Пусть YCDl1 и Xl2, XYl2 также пусть CG=x,CH=y,AE=m,AF=n из подобия CGH,AFE получается mx=ny (1) так же из подобия CGH,HXY следует HX=ayx аналогично DY=m(an)n из условия учитывая (1) получается m1+m2=x+y+x2+y2+m2+n2+n2+m2=(x2+y2+x+y)(n+x)x=N

По теореме Пифагора в треугольнике XHY получается a2+a2y2x2=(a(x+y)y(n+x))2x2 преобразовав ax2+y2=a(x+y)y(n+x) или a=y(n+x)x+yx2+y2 избавляясь от иррациональности 2a=(x+y+x2+y2)(n+x)x=N

Ответ m1+m2=2a