Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год

Пусть $ABCD$ является квадратным куском картонной бумаги с длиной стороны равной $a$. На плоскости лежат две прямые $\ell _1$ и $\ell_2$, расстояние между которыми также равно $a$. Квадрат $ABCD$ расположили на плоскости таким образом, что стороны $AB$ и $AD$ пересекают $\ell_1$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Также стороны $CB$ и $CD$ пересекают $\ell_2$ в точках $G$ и $H$ соответственно. Пусть периметры треугольников $AEF$ и $CGH$ равны $m_1$ и $m_2$ соответственно. Докажите, что при любом расположении квадрата сумма $m_1 + m_2$ остается постоянной.

Комментарий/решение

Пусть $Y \in CD \cap l_{1}$ и $X \in l_{2}, \ XY \perp l_{2}$ также пусть $CG=x,CH=y, AE=m, AF=n$ из подобия $CGH,AFE$ получается $mx=ny$ $(1)$ так же из подобия $CGH,HXY$ следует $HX=\dfrac{ay}{x}$ аналогично $DY=\dfrac{m(a-n)}{n}$ из условия учитывая $(1)$ получается $m_{1}+m_{2} = x+y+\sqrt{x^2+y^2}+m^2+n^2+\sqrt{n^2+m^2} = \dfrac{(\sqrt{x^2+y^2}+x+y)(n+x)}{x}=N$

По теореме Пифагора в треугольнике $XHY$ получается $a^2+\dfrac{a^2y^2}{x^2} = \dfrac{(a(x+y)-y(n+x))^2}{x^2}$ преобразовав $a \cdot \sqrt{x^2+y^2} = a(x+y)-y(n+x)$ или $a=\dfrac{y(n+x)}{x+y-\sqrt{x^2+y^2}}$ избавляясь от иррациональности $2a = \dfrac{(x+y+\sqrt{x^2+y^2})(n+x)}{x}=N$

Ответ $m_{1}+m_{2}=2a$