Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Картон қағаздан қабырғасының ұзындығы $a$-ға тең $ABCD$ квадраты қиылып алынған. Жазықтықта ара қашықтығы осы $a$-ға тең $l_1$ және $l_2$ түзулері берілген. $ABCD$ квадратын жазықтыққа орналастырған кезде, $l_1$ түзуі оның $AB$ және $AD$ қабырғаларын сәйкес $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтті. Сол сияқты, $l_2$ түзуі квадраттың $CB$ және $CD$ қабырғаларын сәйкес $G$ және $H$ нүктелерінде қияды. $AEF$ және $CGH$ үшбұрыштарының периметрлерін сәйкес $m_1$ және $m_2$ деп белгілесек, квадраттың қалай орналасқанына қарамастан $m_1+m_2$ қосындысы тұрақты сан болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $Y \in CD \cap l_{1}$ и $X \in l_{2}, \ XY \perp l_{2}$ также пусть $CG=x,CH=y, AE=m, AF=n$ из подобия $CGH,AFE$ получается $mx=ny$ $(1)$ так же из подобия $CGH,HXY$ следует $HX=\dfrac{ay}{x}$ аналогично $DY=\dfrac{m(a-n)}{n}$ из условия учитывая $(1)$ получается $m_{1}+m_{2} = x+y+\sqrt{x^2+y^2}+m^2+n^2+\sqrt{n^2+m^2} = \dfrac{(\sqrt{x^2+y^2}+x+y)(n+x)}{x}=N$

По теореме Пифагора в треугольнике $XHY$ получается $a^2+\dfrac{a^2y^2}{x^2} = \dfrac{(a(x+y)-y(n+x))^2}{x^2}$ преобразовав $a \cdot \sqrt{x^2+y^2} = a(x+y)-y(n+x)$ или $ a=\dfrac{y(n+x)}{x+y-\sqrt{x^2+y^2}} $ избавляясь от иррациональности $2a = \dfrac{(x+y+\sqrt{x^2+y^2})(n+x)}{x}=N$

Ответ $m_{1}+m_{2}=2a$