Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год

Задача №1. Стороны четырехугольника

$ABCD$ равны.

$MN$ и

$PQ$ — отрезки перпендикулярные диагонали

$BD$ , концы которых лежат на разных сторонах четырехугольника, а расстояние между ними

$d > BD/2$ . Докажите, что периметр шестиугольника

$AMNCQP$ зависит только от расстояния между отрезками

$MN$ и

$PQ$ и не зависит от положения отрезков.
комментарий/решение

Задача №2.

$m$ и

$n$ — два натуральных числа и

$n \leq m$ . Докажите, что

${2^n} \leq \frac{{\left( {m + n} \right)!}}{{\left( {m - n} \right)!}} \leq {\left( {{m^2} + m} \right)^n}.$
комментарий/решение(4)

Задача №3.

$P_1$ ,

$P_2$ ,

$P_3,$

$P_4$ — четыре точки на окружности.

$I_1$ — центр окружности, вписанной в треугольник

$P_2P_3P_4$ ,

$I_2$ — центр окружности, вписанной в

$P_1P_3P_4$ . Аналогично определяются точки

$I_3$ и

$I_4$ . Докажите, что точки

$I_1$ ,

$I_2$ ,

$I_3$ ,

$I_4$ являются вершинами прямоугольника.
комментарий/решение

Задача №4. Национальный семейный совет хочет пригласить

$n$ супружеских пар для формирования 17 дискуссионных групп на следующих условиях:
(1) все члены каждой группы должны быть одинакового пола;
(2) количество человек в любых двух группах должно различаться не более чем на 1;
(3) в каждой группе должен быть хотя бы один человек;
(4) каждый человек должен быть в какой-нибудь группе.
Найдите все такие

$n \leq 1996$ , при которых такое разбиение возможно.
комментарий/решение(1)

Задача №5.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — стороны треугольника. Докажите, что

$\sqrt {a + b - c} + \sqrt {b + c - a} + \sqrt {c + a - b} \leq \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c.$
комментарий/решение(4)