Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1996 жыл
Национальный семейный совет хочет пригласить n супружеских пар для формирования 17 дискуссионных групп на следующих условиях:
(1) все члены каждой группы должны быть одинакового пола;
(2) количество человек в любых двух группах должно различаться не более чем на 1;
(3) в каждой группе должен быть хотя бы один человек;
(4) каждый человек должен быть в какой-нибудь группе.
Найдите все такие n≤1996, при которых такое разбиение возможно.
посмотреть в олимпиаде
(1) все члены каждой группы должны быть одинакового пола;
(2) количество человек в любых двух группах должно различаться не более чем на 1;
(3) в каждой группе должен быть хотя бы один человек;
(4) каждый человек должен быть в какой-нибудь группе.
Найдите все такие n≤1996, при которых такое разбиение возможно.
Комментарий/решение:
k− количечтво мужских групп
В каждой группе либо m либо m+1 людей
Б.О.О. k≥9
km≤(17−k)(m+1)
(17−2k)(m+1)≥−k
m≥1
(17−2k)(m+1)=34−4k+(17−2k)(m−1)≥−k
17−2k<0→(17−2k)(m−1)≤0
34≥3k→k≤11
k=9,10,11
k=11
11m≤6m+6→m=1→n=11
k=10
10m≤7m+7→m=1,2→n=10,20
k=9
9m≤8m+8→m={1,…,8}→n=9,18,27,36,45,54,63,72
Ответ:n=9,10,11,18,27,36,45,54,63,72
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.