Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год


m и n — два натуральных числа и nm. Докажите, что 2n(m+n)!(mn)!(m2+m)n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 4 месяца назад #

(m+n)!(mn)!=2nk=1(mn+k)=nk=1(mn+k)2nk=n+1(mn+k)=

=nk=1m(1nkm)2nk=n+1(m+1)(1nk+1m+1)=

=nk=1mnk=1(1nkm)2nk=n+1(m+1)2nk=n+1(1nk+1m+1)

nk=1m=mn2nk=n+1(m+1)=(m+1)n

(m+n)!(mn)!=mn(m+1)nnk=1(1nkm)2nk=n+1(1nk+1m+1)

(m2+m)n=mn(m+1)n

nk=1(1nkm)2nk=n+1(1nk+1m+1)1

mnnk1nkm(1nkm)1nk=1(1nkm)1

mnkm+1nk+11nk+1m+12nk=n+1(1nk+1m+1)1

(m+n)!(mn)!=2nk=1(mn+k)=nk=1(mn+2k1)nk=1(mn+2k)=

=nk=1(mn+2k1)nk=12(mn2+k)=

=nk=12nk=1(mn+2k1)nk=1(mn2+k)=

=2nnk=1(mn+2k1)nk=1(mn2+k)2n

nk=1(mn+2k1)nk=1(mn2+k)1

mnmn0nk=1(mn+2k1)nk=1(mn2+k)

nk=1(2k1)nk=1k=n!13...(2n1)>1

пред. Правка 5   1
2 года 6 месяца назад #

Нравится задача, чисто счёт. Давайте начнём с доказательства левого неравенства. Преобразуем наше уравнение (деление факториалов) в:

(!)(mn+1)(mn+2)m(m+1)(m+n)n!2n

Так как mn то левое уравнение больше равно (2n!) (просто подставим вместо m n-ки). По Индукции легко доказываем что (2n!)n!2n.

Докажем правое неравенство. Заметим что наше произведение вида:

(mn+k)(m+n+1k)k[1:n]

До этого легко догадаться если умножать первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. частички. Если доказать что все эти парные произведения меньше или равны (m2+m) то задача решена. Ну давайте сравним их:

(mn+k)(m+n+1k)|(m2+m)2nk+k|n2+k2+nnk,n2+k22nk(AMGM). Значит (mn+k)(m+n+1k)(m2+m)n.

  0
2 года 6 месяца назад #

Кстати, в задаче опечатка. Вместо 2n должно быть n!2n.

пред. Правка 2   0
1 года 10 месяца назад #

(m+n)!(mn)!n!×2n

(m+n)!(mn)!n!2n

(m+n)(m+n1)(mn+1)n!2n

(m+n)(m+n1)(mn+1)n!2n!n!

2n(2n1)(n+1)2n

n+1,n+22n1n

2n(2n1)(n+1)2n×nn12nn2n

Ч.Т.Д

(m2+m)n(m+n)(m+n1)(mn+1)

m(m+1)(m1)(m+2),(m2)(m+3),,(m+n)(mn+1)

(m2+m)n(m+n)(m+n1)(mn+1)

Ч.Т.Д