Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год
Комментарий/решение:
(m+n)!(m−n)!=2n∏k=1(m−n+k)=n∏k=1(m−n+k)2n∏k=n+1(m−n+k)=
=n∏k=1m(1−n−km)2n∏k=n+1(m+1)(1−n−k+1m+1)=
=n∏k=1mn∏k=1(1−n−km)2n∏k=n+1(m+1)2n∏k=n+1(1−n−k+1m+1)
n∏k=1m=mn2n∏k=n+1(m+1)=(m+1)n
(m+n)!(m−n)!=mn(m+1)nn∏k=1(1−n−km)2n∏k=n+1(1−n−k+1m+1)≤
≤(m2+m)n=mn(m+1)n⇒
n∏k=1(1−n−km)2n∏k=n+1(1−n−k+1m+1)≤1
m≥n≥n−k⇒1≥n−km⇒(1−n−km)≤1⇒n∏k=1(1−n−km)≤1
m≥n−k⇒m+1≤n−k+1⇒1≤n−k+1m+1⇒2n∏k=n+1(1−n−k+1m+1)≤1
(m+n)!(m−n)!=2n∏k=1(m−n+k)=n∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=1(m−n+2k)=
=n∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=12(m−n2+k)=
=n∏k=12n∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=1(m−n2+k)=
=2nn∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=1(m−n2+k)≥2n⇒
⇒n∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=1(m−n2+k)≥1
m≥n⇒m−n≥0⇒n∏k=1(m−n+2k−1)n∏k=1(m−n2+k)≥
≥n∏k=1(2k−1)n∏k=1k=n!⋅1⋅3⋅...⋅(2n−1)>1
Нравится задача, чисто счёт. Давайте начнём с доказательства левого неравенства. Преобразуем наше уравнение (деление факториалов) в:
(!)(m−n+1)(m−n+2)…m(m+1)…(m+n)≥n!∗2n
Так как m≥n то левое уравнение больше равно (2n!) (просто подставим вместо m n-ки). По Индукции легко доказываем что (2n!)≥n!∗2n.
Докажем правое неравенство. Заметим что наше произведение вида:
∏(m−n+k)(m+n+1−k)k∈[1:n]
До этого легко догадаться если умножать первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. частички. Если доказать что все эти парные произведения меньше или равны (m2+m) то задача решена. Ну давайте сравним их:
(m−n+k)(m+n+1−k)|(m2+m)⇒2nk+k|n2+k2+n⇒n≥k,n2+k2≥2nk(AM≥GM). Значит ∏(m−n+k)(m+n+1−k)≤(m2+m)n.
(m+n)!(m−n)!≥n!×2n
(m+n)!(m−n)!n!≥2n
(m+n)(m+n−1)…(m−n+1)n!≥2n
(m+n)(m+n−1)…(m−n+1)n!≥2n!n!
2n(2n−1)…(n+1)≥2n
n+1,n+2…2n−1≥n
2n(2n−1)…(n+1)≥2n×nn−1→2nn≥2n
Ч.Т.Д
(m2+m)n≥(m+n)(m+n−1)…(m−n+1)
m(m+1)≥(m−1)(m+2),(m−2)(m+3),…,(m+n)(m−n+1)→
(m2+m)n≥(m+n)(m+n−1)…(m−n+1)
Ч.Т.Д
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.