Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год
a, b, c — стороны треугольника. Докажите, что √a+b−c+√b+c−a+√c+a−b≤√a+√b+√c.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∀a,b,c>0
√a+b−c+√b+c−a+√c+a−b≤√a+√b+√c
{√a+b−c=x√b+c−a=y√c+a−b=z⇒{a=x2+z22b=x2+y22c=y2+z22
√a+√b+√c=√x2+z22+√x2+y22+√y2+z22≥x+y+z
Sквадр.≥Sарифм.⇒√x21+x22+...+x2nn≥x1+x2+...+xnn⇒
⇒√x2+z22+√x2+y22+√y2+z22≥x+z2+x+y2+y+z2=x+y+z
Через Караматы
Пусть a=x+y,b=y+z,c=z+x
Тогда неравенство равносильно: √2x+√2y+√2z≤√x+y+√y+z+√z+x(!)
БОО x≥y≥z
Тогда несложно заметить, что
{2x,2y,2z}≻{z+x,z+y,x+y}
тогда по неравенству Караматы, для вогнутой функции f(x)=√x, имеем что
f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)≥f(2x)+f(2y)+f(2z)
что равносильно неравнеству выше, Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.