Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год


a, b, c — стороны треугольника. Докажите, что a+bc+b+ca+c+aba+b+c.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2 | проверено модератором
8 года 1 месяца назад #

a,b,c>0

a+bc+b+ca+c+aba+b+c

{a+bc=xb+ca=yc+ab=z{a=x2+z22b=x2+y22c=y2+z22

a+b+c=x2+z22+x2+y22+y2+z22x+y+z

Sквадр.Sарифм.x21+x22+...+x2nnx1+x2+...+xnn

x2+z22+x2+y22+y2+z22x+z2+x+y2+y+z2=x+y+z

пред. Правка 2   3
3 года назад #

Через Караматы

Пусть a=x+y,b=y+z,c=z+x

Тогда неравенство равносильно: 2x+2y+2zx+y+y+z+z+x(!)

БОО xyz

Тогда несложно заметить, что

{2x,2y,2z}{z+x,z+y,x+y}

тогда по неравенству Караматы, для вогнутой функции f(x)=x, имеем что

f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)f(2x)+f(2y)+f(2z)

что равносильно неравнеству выше, Ч.Т.Д.

  0
3 года назад #

бро, ты можешь просто взять в квадрат сравнение x+y|2x, и получишь сравнение 2(x+y)(y+z)|4xy и по Коши слева получишь нужное

  2
3 года назад #

Ну мое решение в один шаг)