Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения

$\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}},$ если

$x, y, z$ могут принимать только значения 1, 2, 3, 4, 5 причем

$x\neq y, y\neq z, z\neq x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске написаны три числа:

$4, ~7, ~13$ . Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например:

$(4, ~7, ~13) \rightarrow (4, ~1, ~13)$ ). Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение

Задача №3. Доказать, что если

$a+b+c\leq 3$ и

$a \geq 0$ ,

$b \geq 0$ ,

$c\geq 0$ , то

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{2}.$
комментарий/решение(3)

Задача №4. Найдите все функции, удовлетворяющие следующим условиям:

$f(x)+\left(x+ \dfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,$ при

$x\in \mathbb{R}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Сечение параллелепипеда плоскостью — пятиугольник, в котором отношение любых двух сторон равно или 1, или 2, или 1/2. Найдите углы этого пятиугольника.
комментарий/решение

Задача №6. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?
комментарий/решение

Задача №7. Найти число решений в натуральных числах

$\left [ \dfrac{x}{10}\right]=\left [ \dfrac{x}{11}\right]+1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Доказать, что функция, удовлетворяющая уравнению

$f(x+2)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ периодическая и найти её период.
комментарий/решение(1)

Задача №9. В левом нижнем углу шахматной доски

$7 \times 7$ стоит король. Он может ходить на одну клетку либо в право, либо вверх, либо по диагонали вправо вверх. Сколькими путями король может пройти в правый верхний угол доски, если его маршрут не должен содержать клетки, расположенные выше главной диагонали доски.
комментарий/решение

Задача №10. Диагонали параллелограмма

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Докажите, что точка

$O$ , а также основания перпендикуляров, опущенных из точки

$O$ на прямые

$BC$ ,

$BD$ и

$CD$ , лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)