Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$, а также основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на прямые $BC$, $BD$ и $CD$, лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Если имелось ввиду что из точки $A$ опущены перпендикуляры, то задача имеет место быть, так как $O \in \ BD$ .

Пусть $X,Y,Z$ основания перпендикуляров из точки $A$ на стороны $BC,BD,CD$ соответственно.

Из условия следует что $XBYA,AYDZ$ вписанные откуда $\angle XYB = 90^{\circ}-\angle ABC$ и $\angle DYZ = 90^{\circ}-\angle ABC$ значит $\angle XYZ = 180^{\circ}-\angle XYB - \angle DYZ = 2\angle ABC$

Докажем что $\angle XOZ=\angle XYZ$

Так как $O$ середины гипотенузы $AC$ для прямоугольных треугольников $AXC,AZC$ откуда $OA=OZ=OX$ откуда $\angle XOC = 180^{\circ}-2\angle XCA$ и $\angle ZOC = 180^{\circ}-2\angle ZCA$ откуда $\angle XOZ = \angle XOC + \angle ZOC = 2\angle ABC$ .

Откуда $XYOZ$ вписанный.