Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Найдите все функции, удовлетворяющие следующим условиям: $f(x)+\left(x+ \dfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,$ при $x\in \mathbb{R}.$

Комментарий/решение

$\left\{ \begin{array}{l} f(x)+\left(x+ \cfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,\\ f(1-x)+\left(\cfrac{3}{2}-x\right)f(x)=1. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} f(x)+\left(x+ \cfrac{1}{2}\right)f(1-x)=1,\\ \left(x+ \cfrac{1}{2}\right)\left(\cfrac{3}{2}-x\right)f(x) + \left(x+ \cfrac{1}{2}\right)f(1-x)=\left(x+ \cfrac{1}{2}\right). \end{array} \right.$

$f(x) - \left(x+ \cfrac{1}{2}\right)\left(\cfrac{3}{2}-x\right)f(x) = 1 - \left(x+ \cfrac{1}{2}\right)$

$\left( x^2-x+\cfrac{1}{4}\right)f(x)=\cfrac{1}{2}-x$

$f(x)=\cfrac{2}{1-2x}.$

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{2}{1-2x}, x \not = \cfrac{1}{2}\\ \cfrac{1}{2}, x = \cfrac{1}{2}. \end{array} \right.$