Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 11 класс

Найти число решений в натуральных числах $\left [ \dfrac{x}{10}\right]=\left [ \dfrac{x}{11}\right]+1$.

Комментарий/решение

$$\Bigg[\frac{x}{10} \Bigg]=\Bigg[\frac{x}{11} \Bigg]+1, \qquad x \in \mathbb{N} \qquad (1)$$

$$x=110p+q, \qquad k,q\in \mathbb{Z}, \quad 0 \leq q <110$$

$$\forall n \in \mathbb{Z}: [x+n]=[x]+n$$

$$\Bigg[ \frac{110p+q}{10} \Bigg]= \Bigg[ \frac{110p+q}{11} \Bigg]+1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \Bigg[11+ \frac{q}{10} \Bigg]= \Bigg[ 10+\frac{q}{11} \Bigg]+1 \Rightarrow \Bigg[\frac{q}{10} \Bigg]=\Bigg[\frac{q}{11} \Bigg]$$

Так как все возможные значения числа $q$ находится на полуинтервале $[0,110).$ Отсюда следует, что уравнение (1) имеет в этом случае $109$ решений.