Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD = 4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD/AB$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Докажите, что для произвольных $a, b, c$ равенство $\frac{a(b-c)}{b+c}+\frac{b(c-a)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0$ выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство $\frac{{{a}^{2}}(b-c)}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}(c-a)}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}(a-b)}{a+b}=0$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Среди 100 монет есть 4 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---