Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа

Среди 100 монет есть 4 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету? ( А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Приведем один из возможных способов. Разделим 100 монет на две группы (номер 1 и номер 2) по 33 монеты и одну группу (номер 3) из 34 монет. Первым взвешиванием положим на чаши весом группы 1 и 2. Если одна из чаш оказалась тяжелее другой, то на ней — не более одной фальшивой монеты. Тогда вторым взвешиванием можно сравнить любые две монеты из этой группы друг с другом: если одна из них тяжелее, то она настоящая, а если обе одинаковы, то обе являются настоящими. Если же после первого взвешивания оказалось, что две группы из 33 монет весят поровну, то это означает, что фальшивые монеты распределились по трем группам одним из таких способов: (0,0,4), (1,1,2) или (2,2,0). Второе взвешивание делаем так: добавим к одной из групп одну монету с другой чаши, а все остальные монеты с другой чаши снимем и заменим на 34 монеты из третьей группы. У этого взвешивания возможны три исхода. Первый: $1 + 33 < 34$. Это значит, что слева фальшивых монет больше, чем справа. Значит, имеет место случай (2,2,0), т.е. все 34 монеты — настоящие. Второй: $1 + 33 = 34$. Это значит, что фальшивых слева и справа поровну. Значит, имеет место случай (1,1,2), причем единственную фальшивую монету из второй кучки мы как раз переложили к первой кучке. Тогда все остальные 32 монеты из второй кучки — настоящие. Третий: $1 + 33 > 34$. Это значит, что имеет место либо случай (0,0,4), либо случай (1,1,2), в котором переложенная монета не является фальшивой. В обоих случаях переложенная монета — настоящая.