Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1. Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*,*,*) $-$ НОК(*,*,*) $=$ 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным? ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены соотношения $AB = BD$; $\angle ABD = \angle DBC$. На диагонали $BD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK = BC$. Докажите, что $\angle KAD = \angle KCD$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха. Если это — три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе — его соперник. Кто из игроков может выигрывать, как бы не играл соперник? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №4. На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на $9 \cdot 1000^{1000}$-ом месте? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---