Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Есеп №1. Шеңбер бойында 2013 нүкте белгілеп, оның әрқайсысын оған көрші көрші екі нүктемен қосқан. Және де шеңбердің центрін белгілеп, оны әр белгіленген нүктемен қосқан. Әр қызыл түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүктелер саны тақ, ал әр көк түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүкте саны жұп болатындай, осы нүктелердің 1007-сін қызыл, 1007-сін көк түске бояп шығуға болады ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышында

$BE$ түзуі

$CD$ түзуіне параллель және

$BE$ кесіндісі

$CD$ кесіндісінен қысқа. Бесбұрыштың ішінен

$ABCF$ және

$AGDE$ — параллелограммдар болатындай

$F$ пен

$G$ нүктелері алынған.

$CD=BE+FG$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов, К. Кноп )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өлшемі

$2014 \times 2014$ болатын шаршылы тақтада, өлшемі

$3 \times 3$ болатын әр квадратта боялған шаршы саны жұп болатындай, бірнеше (бірден кем емес) шаршы боялған. Боялған шаршылардың ең кіші мүмкін саны қандай? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген екеуінің көбейтіндісі, сол екеуінің қосындысына бөлінетіндей қос-қостан өзара тең емес 2014 сан берілген. Осы сандардың ешқайсысы қос-қостан өзара тең емес алты жай сандардың көбейтіндісіне тең бола алмайтынын дәлелде. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )
комментарий/решение(1)