Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, III тур дистанционного этапа


Задача №1.  Перед распродажей ложка и вилка стоили одинаково. На распродаже цену ложки уменьшили на 1 рубль, а цену вилки — в 10 раз. Могло ли случиться, что ложка на распродаже продавалась дешевле вилки?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все такие тройки чисел m, n, k, что каждое из уравнений mx2+n=0, nx2+k=0 и kx2+m=0 имеет хотя бы одно решение.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В 1001 году на багдадском базаре ковёр-самолёт стоил 1 динар. Затем в течение 99 лет он каждый год, кроме одного, дорожал на 1 динар, а в один год подорожал в 3 раза. Мог ли в 1100 году такой же ковёр-самолёт стоить 152 динара?
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Точка D лежит внутри треугольника ABC. Может ли случиться, что самая короткая сторона треугольника BCD равна 1, самая короткая сторона треугольника ACD равна 2, а самая короткая сторона треугольника ABD равна 3?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Шестизначное число N совпадает с каждым из пяти шестизначных чисел A, B, C, D, E в трёх разрядах. Докажите, что среди чисел A, B, C, D, E найдутся два, совпадающие по крайней мере в двух разрядах.
комментарий/решение(1)