Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, III тур дистанционного этапа

Перед распродажей ложка и вилка стоили одинаково. На распродаже цену ложки уменьшили на 1 рубль, а цену вилки — в 10 раз. Могло ли случиться, что ложка на распродаже продавалась дешевле вилки?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Могло.
Решение. Пусть начальная цена была 1 р. 10 коп. Тогда на распродаже ложка стоила 10 коп., а вилка — 11 коп.
Замечание. Пусть $x$ — начальная цена в копейках. Тогда $x$ должно быть больше 100 (поскольку цена ложки на распродаже должна быть положительной), делиться на 10 (поскольку цена вилки на распродаже должна выражаться целым положительным числом копеек) и удовлетворять неравенству $x-100 < x/10 \Rightarrow x < 111 \frac{1}{9}$. Таким образом, $x = 110$ — единственная цена, удовлетворяющая всем перечисленным условиям.