Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Сатылым алдында қасық пен шанышқы бағалары бірдей болды. Жаппай сатылымда қасық бағасын 1 рубльге, ал шанышқы бағасын 10 есе азайтты. Осы жаппай сатылымда қасық шанышқыға қарағанда арзан бағамен сатылуы мүмкін ба? (1 рубльде 100 копейка бар)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Могло.
Решение. Пусть начальная цена была 1 р. 10 коп. Тогда на распродаже ложка стоила 10 коп., а вилка — 11 коп.
Замечание. Пусть $x$ — начальная цена в копейках. Тогда $x$ должно быть больше 100 (поскольку цена ложки на распродаже должна быть положительной), делиться на 10 (поскольку цена вилки на распродаже должна выражаться целым положительным числом копеек) и удовлетворять неравенству $x-100 < x/10 \Rightarrow x < 111 \frac{1}{9}$. Таким образом, $x = 110$ — единственная цена, удовлетворяющая всем перечисленным условиям.