Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1.  Перед распродажей ложка и вилка стоили одинаково. На распродаже цену ложки уменьшили на 1 рубль, а цену вилки — в 10 раз. Могло ли случиться, что ложка на распродаже продавалась дешевле вилки?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все такие тройки чисел $m$, $n$, $k$, что каждое из уравнений $mx^2+n = 0$, $nx^2+k = 0$ и $kx^2+m = 0$ имеет хотя бы одно решение.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В 1001 году на багдадском базаре ковёр-самолёт стоил 1 динар. Затем в течение 99 лет он каждый год, кроме одного, дорожал на 1 динар, а в один год подорожал в 3 раза. Мог ли в 1100 году такой же ковёр-самолёт стоить 152 динара?
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$. Может ли случиться, что самая короткая сторона треугольника $BCD$ равна 1, самая короткая сторона треугольника $ACD$ равна 2, а самая короткая сторона треугольника $ABD$ равна 3?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Шестизначное число $N$ совпадает с каждым из пяти шестизначных чисел $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ в трёх разрядах. Докажите, что среди чисел $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ найдутся два, совпадающие по крайней мере в двух разрядах.
комментарий/решение(1)

---