Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, III тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. m=n=k=0.
Решение. Если m=0, то из mx2+n=0 получаем n=0, а из nx2+k=0 — k=0. Аналогично для n=0 и k=0. Таким образом, если одно из чисел m, n, k равно 0, то равны 0 и два других. Допустим, ни одно из чисел m, n, k не равно 0. Тогда из первого уравнения следует, что числа m и n имеют разные знаки, а из второго — что числа n и k имеют разные знаки. Но тогда числа m и k имеют один знак, и в третьем уравнении x2=−m/k<0, то есть оно не имеет решений. Полученное противоречие показывает, что отличными от 0 числа m, n и k быть не могут.
Замечание.
То, что каждое из уравнений, указанных в условии, имеет решение, не означает, что все три уравнения имеют одно и то же решение. Поэтому доказательство, что у системы из трех данных уравнений есть решение только при m=n=k=0, не является решением задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.