Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Сатылым алдында қасық пен шанышқы бағалары бірдей болды. Жаппай сатылымда қасық бағасын 1 рубльге, ал шанышқы бағасын 10 есе азайтты. Осы жаппай сатылымда қасық шанышқыға қарағанда арзан бағамен сатылуы мүмкін ба? (1 рубльде 100 копейка бар)
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$mх^2+n=0$ ,

$nх^2+k=0$ және

$kх^2+m=0$ теңдеулерінің әрқайсысының кемінде бір шешімі болатындай барлық

$m$ ,

$n$ ,

$k$ үштіктерін табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. 1001 жылы Бағдат қаласының базарында ұшақ кілем 1 динар тұрған. Келесі 99 жылдың қандай да бір жылында ол үш есе қымбаттап, ал әр қалған жылдарда 1 динарға қымбаттап отырған. 1100 жылы осындай ұшақ кілем 152 динар тұруы мүмкін ба?
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$D$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ішінде жатыр.

$BCD$ үшбұрышының ең кіші қабырғасы 1,

$ACD$ үшбұрышының ең кіші қабырғасы 2, ал

$ABD$ үшбұрышының ең кіші қабырғасы 3-ке тең болуы мүмкін ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Алтытаңбалы

$N$ саны әр бес алтытаңбалы

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ сандарымен үш разрядында беттеседі.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ сандарының ішінде кемінде екі разрядта беттесетін екі сан табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)