Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Тақтада 1-ден 2150-ге дейінгі сандар жазылған. Әр минут сайын әр сан келесі операцияға тап болады: егер сан 100-ге бөлінсе, онда оны 100-ге бөледі, ал егер 100-ге бөлінбесе, ол саннан 1-ді азайтады. 87 минуттан кейін жазылған сандар арасындағы ең үлкенін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бизнесмен Борис Михайловичтың «Лексусындағы» навигатор, ақырғы жолға қанша уақыт жүру керек екенін, жүріс басы мен қазіргі кездегі жол арасын өтетін орташа жылдамдық бойынша есеппен көрсетеді. Борис Михайлович өзінің үйінен саяжайға жол жүрді. Жолдың ортасында навигатор 1 сағат жүру керек екенін көрсетті. Дәл сол уақытта оның алдына тракторист Вася шығып алды, және оның трактористті озып өтуге еш мүмкіндігі болмады. Борис Михайлович қалған жолдын жартысын өткеннен кейін, навигатор оған 2 сағат қалғанын айтты. Осыдан кейін, егер Борис Михайлович жол бойы трактористті солай оза алмай өтсе, ол саяжайға қанша уақыттан кейін жетеді? (Трактор жылдамдығы тұрақты.)
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $E$ нүктесі — $ABCD$ трапециясының $AD$ табанының ортасы. $BD$ мен $CE$ кесінділері $F$ нүктесінде қиылысады. Егер $AF \perp BD$ екені белгілі болса, $BC=FC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $20\times 20$ квадрат тақтасы бірлік шаршыларға бөлінген. Бірлік шаршылардың бірнеше қабырғалары өшірілген және де өшірілген қабырғалардың ортақ ұштары жоқ. Ал квадраттың жоғары және оң жағында өшірілген қабырғалар жоқ. Квадраттың төменгі сол бұрышынан жоғары оң бұрышына дейін өшірілмеген қабырғалар арқылы жетуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Вася 200 қатар келген натурал санның цифрларының қосындысын есептеп, қандай да бір ретпен тізіп жазды. Петя да қандай да бір қатар келген 200 натурал санның цифрларының қосындысын есептеп, қандай да бір ретпен Васяның тізбегінің астына тізіп шықты. Содан кейін Таня Васяның әр санын, оның астында жазылған Петяның әр санына көбейтіп, қатар келген 200 натурал сан алды. Есептеу кезінде біреу қателескенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)