Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур дистанционного этапа

Навигатор на «Лексусе» бизнесмена Бориса Михайловича сообщает, сколько осталось ехать до пункта назначения, если двигаться со скоростью, равной средней скорости на промежутке от начала пути до настоящего момента. Борис Михайлович выехал из дома на дачу. В середине пути навигатор сообщил, что осталось ехать 1 час. В этот момент прямо перед «Лексусом» на дорогу выехал тракторист Вася, обогнать которого не было никакой возможности. После того, как Борис Михайлович проехал половину оставшегося пути, навигатор сообщил, что осталось ехать 2 часа. Через сколько часов после этого приедет на дачу бизнесмен, если так и не обгонит тракториста? (Скорость трактора постоянна.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Через 5 часов.
Решение 1. Примем расстояние от дома БМ до дачи за 4 единицы длины. Тогда средняя скорость «Лексуса» на первой половине пути по условию равнялась 2 ед./час. Пусть $\upsilon$ ед./час — скорость трактора. Тогда на третью четверть пути «Лексус» потратил $1/\upsilon$ часов, и его средняя скорость на первых трёх четвертях пути составила $3/(1+1/\upsilon)$ ед./час. С другой стороны, по условию с такой скоростью «Лексус» проедет оставшуюся четверть пути за 2 часа, откуда $2(3/(1+1/\upsilon)) = 1$. Решая это уравнение, находим $\upsilon = 1/5$, откуда и получаем ответ.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. Через 5 часов.
Решение 2. Когда навигатор сообщил Борису Михайловичу, что ему осталось ехать 2 часа, ехать ему оставалось четверть пути. Значит, уже пройденные 3/4 пути он проехал за 6 часов. Но первую половину пути БМ проехал за час, значит, 5 часов он ехал за Васей третью четверть пути. Столько же времени уйдет у него и на оставшуюся четверть.