Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Бизнесмен Борис Михайловичтың «Лексусындағы» навигатор, ақырғы жолға қанша уақыт жүру керек екенін, жүріс басы мен қазіргі кездегі жол арасын өтетін орташа жылдамдық бойынша есеппен көрсетеді. Борис Михайлович өзінің үйінен саяжайға жол жүрді. Жолдың ортасында навигатор 1 сағат жүру керек екенін көрсетті. Дәл сол уақытта оның алдына тракторист Вася шығып алды, және оның трактористті озып өтуге еш мүмкіндігі болмады. Борис Михайлович қалған жолдын жартысын өткеннен кейін, навигатор оған 2 сағат қалғанын айтты. Осыдан кейін, егер Борис Михайлович жол бойы трактористті солай оза алмай өтсе, ол саяжайға қанша уақыттан кейін жетеді? (Трактор жылдамдығы тұрақты.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Через 5 часов.
Решение 1. Примем расстояние от дома БМ до дачи за 4 единицы длины. Тогда средняя скорость «Лексуса» на первой половине пути по условию равнялась 2 ед./час. Пусть $\upsilon$ ед./час — скорость трактора. Тогда на третью четверть пути «Лексус» потратил $1/\upsilon$ часов, и его средняя скорость на первых трёх четвертях пути составила $3/(1+1/\upsilon)$ ед./час. С другой стороны, по условию с такой скоростью «Лексус» проедет оставшуюся четверть пути за 2 часа, откуда $2(3/(1+1/\upsilon)) = 1$. Решая это уравнение, находим $\upsilon = 1/5$, откуда и получаем ответ.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. Через 5 часов.
Решение 2. Когда навигатор сообщил Борису Михайловичу, что ему осталось ехать 2 часа, ехать ему оставалось четверть пути. Значит, уже пройденные 3/4 пути он проехал за 6 часов. Но первую половину пути БМ проехал за час, значит, 5 часов он ехал за Васей третью четверть пути. Столько же времени уйдет у него и на оставшуюся четверть.