1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Олимпиада им. Леонарда Эйлера
  5. Дистанционный этап
  6. V олимпиада (2012-2013 учебный год)
  7. II тур

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур дистанционного этапа


Задача №1.  На доске выписаны числа от 1 до 2150. Каждую минуту каждое число подвергается следующей операции: если число делится на 100, то его делят на 100, если же не делится, то из него вычитают 1. Найдите наибольшее среди чисел на доске через 87 минут.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Навигатор на «Лексусе» бизнесмена Бориса Михайловича сообщает, сколько осталось ехать до пункта назначения, если двигаться со скоростью, равной средней скорости на промежутке от начала пути до настоящего момента. Борис Михайлович выехал из дома на дачу. В середине пути навигатор сообщил, что осталось ехать 1 час. В этот момент прямо перед «Лексусом» на дорогу выехал тракторист Вася, обогнать которого не было никакой возможности. После того, как Борис Михайлович проехал половину оставшегося пути, навигатор сообщил, что осталось ехать 2 часа. Через сколько часов после этого приедет на дачу бизнесмен, если так и не обгонит тракториста? (Скорость трактора постоянна.)
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Точка $E$ — середина основания $AD$ трапеции $ABCD$. Отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AF \perp BD$. Докажите, что $BC = FC$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Квадрат $20 \times 20$ разбит на единичные квадратики. Несколько сторон единичных квадратиков стёрты, причем стёртые отрезки не имеют общих концов, а на верхней и правой сторонах квадрата стёртых отрезков нет. Докажите, что из левого нижнего угла квадрата можно добраться в правый верхний по нестёртым отрезкам.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Вася вычислил суммы цифр у 200 последовательных натуральных чисел и выписал эти суммы в строку в некотором порядке. Петя выписал под ними суммы цифр еще каких-то 200 последовательных натуральных чисел (также в произвольном порядке). После чего Таня умножила каждое из Васиных чисел на число, написанное под ним, и получила в результате 200 последовательных натуральных чисел. Докажите, что кто-то из них ошибся.
комментарий/решение(1)