Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур дистанционного этапа

Точка $E$ — середина основания $AD$ трапеции $ABCD$. Отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AF \perp BD$. Докажите, что $BC = FC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. $FE$ — медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника $AFD$. Поэтому $FE = AD/2 = ED$ и $\angle EDF = \angle DFE$. Но углы $EDF$ и $CBF$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$, а углы $DFE$ и $BFC$ равны как вертикальные. Поэтому $\angle CBF = \angle BFC$, откуда $BC = FC$.