Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$E$ нүктесі — $ABCD$ трапециясының $AD$ табанының ортасы. $BD$ мен $CE$ кесінділері $F$ нүктесінде қиылысады. Егер $AF \perp BD$ екені белгілі болса, $BC=FC$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. $FE$ — медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника $AFD$. Поэтому $FE = AD/2 = ED$ и $\angle EDF = \angle DFE$. Но углы $EDF$ и $CBF$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$, а углы $DFE$ и $BFC$ равны как вертикальные. Поэтому $\angle CBF = \angle BFC$, откуда $BC = FC$.