Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур дистанционного этапа

Вася вычислил суммы цифр у 200 последовательных натуральных чисел и выписал эти суммы в строку в некотором порядке. Петя выписал под ними суммы цифр еще каких-то 200 последовательных натуральных чисел (также в произвольном порядке). После чего Таня умножила каждое из Васиных чисел на число, написанное под ним, и получила в результате 200 последовательных натуральных чисел. Докажите, что кто-то из них ошибся.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда на 3 или на 9 соответственно делится сумма его цифр. Среди 200 последовательных чисел на 3 делится 66 или 67. Стало быть, среди сумм их цифр — тоже. Пусть среди Васиных чисел, делящихся на 3, ровно под $k$ подписаны Петины числа, делящиеся на 3. Тогда произведений, делящихся на 3, будет не меньше, чем $k+2(66-k) = 132-k$. Если у Тани получилось 200 последовательных натуральных чисел, число $132-k$ должно быть не больше 67, откуда $k \geq 65$. Но тогда среди Таниных чисел будет хотя бы 65 таких, которые делятся на 9, а чисел, делящихся на 9, среди двухсот последовательных натуральных чисел не больше 23-х. Противоречие.