Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Вася 200 қатар келген натурал санның цифрларының қосындысын есептеп, қандай да бір ретпен тізіп жазды. Петя да қандай да бір қатар келген 200 натурал санның цифрларының қосындысын есептеп, қандай да бір ретпен Васяның тізбегінің астына тізіп шықты. Содан кейін Таня Васяның әр санын, оның астында жазылған Петяның әр санына көбейтіп, қатар келген 200 натурал сан алды. Есептеу кезінде біреу қателескенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда на 3 или на 9 соответственно делится сумма его цифр. Среди 200 последовательных чисел на 3 делится 66 или 67. Стало быть, среди сумм их цифр — тоже. Пусть среди Васиных чисел, делящихся на 3, ровно под $k$ подписаны Петины числа, делящиеся на 3. Тогда произведений, делящихся на 3, будет не меньше, чем $k+2(66-k) = 132-k$. Если у Тани получилось 200 последовательных натуральных чисел, число $132-k$ должно быть не больше 67, откуда $k \geq 65$. Но тогда среди Таниных чисел будет хотя бы 65 таких, которые делятся на 9, а чисел, делящихся на 9, среди двухсот последовательных натуральных чисел не больше 23-х. Противоречие.