Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$N$ саны 200 әртүрлі натурал сандардың көбейтіндісіне тең.

$N$ -ның 19901-ден кем емес әртүрлі бөлгіші бар екенін дәлелдеңіз (бірді және

$N$ -ның өзін қоса санағанда).
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$p$ параметрінің барлық мәнін табыңыз, егер мына теңсіздікті

${{x}^{2}}-\pi x+p < 0$ қанағаттандыратын тура 2002 бүтін

$x$ бар болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ көпмүшесі үш түрлі нақты түбірге ие,ал

$P\left[ Q\left( x \right) \right]$ көпмүшесі,

$Q\left( x \right)={{x}^{2}}+x+2003$ нақты түбірлері жоқ.

$P\left( 2003 \right) > \dfrac{1}{64}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышы медианалармен 6 үшбұрышқа бөлінген. Осы алты үшбұрыштың төртеуіне іштей сызылған шеңбер радиустары өзара тең.

$ABC$ үшбұрышының дұрыс үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)