Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс


Многочлен P(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных действительных корня, а многочлен P[Q(x)], где Q(x)=x2+x+2003, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2003)>164.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
6 года 7 месяца назад #

P(x)=x3+ax2+bx+c=(xx1)(xx2)(xx3)

P(x2+x+2003)=(x2+x+2003x1)(x2+x+2003x2)(x2+x+2003x3)

x2+x+2003xi=0,i=1,2,3

D=142003+4xi<0xi<200314

x=2003P(2003)=(2003x1)(2003x2)(2003x3)>(2003x1)(2003x2)(2003x3)>

>(2003(200314))(2003(200314))(2003(200314))=(14)3=164