Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс
Многочлен P(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных
действительных корня, а многочлен P[Q(x)], где
Q(x)=x2+x+2003, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2003)>164.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
P(x)=x3+ax2+bx+c=(x−x1)(x−x2)(x−x3)
P(x2+x+2003)=(x2+x+2003−x1)(x2+x+2003−x2)(x2+x+2003−x3)
x2+x+2003−xi=0,i=1,2,3
D=1−4⋅2003+4xi<0⇒xi<2003−14
x=2003⇒P(2003)=(2003−x1)(2003−x2)(2003−x3)>(2003−x1)(2003−x2)(2003−x3)>
>(2003−(2003−14))(2003−(2003−14))(2003−(2003−14))=(14)3=164
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.