Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс

Задача №1.  Число $N$ равно произведению 200 различных натуральных чисел. Докажите, что $N$ имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$).
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все значения параметра $p$, при которых существует ровно 2002 целых $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2 - \pi x + p < 0$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 +bx + c$ имеет три различных действительных корня, а многочлен $P[ Q(x)]$, где $Q(x) = x^2 + x + 2003$, действительных корней не имеет. Докажите, что $P(2003) >\frac{1}{64}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Треугольник $ABC$ разбит медианами на 6 треугольников. Радиусы вписанных окружностей в четырех из них равны. Докажите, что треугольник $ABC$ — правильный.
комментарий/решение(5)

---