Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Число N равно произведению 200 различных натуральных чисел.
Докажите, что N имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число N).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все значения параметра p, при которых существует ровно
2002 целых x, удовлетворяющих неравенству x2−πx+p<0.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Многочлен P(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных
действительных корня, а многочлен P[Q(x)], где
Q(x)=x2+x+2003, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2003)>164.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Треугольник ABC разбит медианами на 6 треугольников. Радиусы
вписанных окружностей в четырех из них равны. Докажите, что треугольник ABC — правильный.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)