Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Число N равно произведению 200 различных натуральных чисел. Докажите, что N имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число N).
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все значения параметра p, при которых существует ровно 2002 целых x, удовлетворяющих неравенству x2πx+p<0.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Многочлен P(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных действительных корня, а многочлен P[Q(x)], где Q(x)=x2+x+2003, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2003)>164.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Треугольник ABC разбит медианами на 6 треугольников. Радиусы вписанных окружностей в четырех из них равны. Докажите, что треугольник ABC — правильный.
комментарий/решение(5)