Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс


Треугольник ABC разбит медианами на 6 треугольников. Радиусы вписанных окружностей в четырех из них равны. Докажите, что треугольник ABC — правильный.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 7 месяца назад #

Для начала вспомним , что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Учитывая это, и то , что радиусы описанных окружностей 4 из них равны, также учитывая R=abc4S, получим 'abd=bed=eca=bac, где стороны первого треугольника равны 2а;b;d, второго, имеющего с первым общую сторону b,равны b;2e;d, третий имеет стороны 2e;c;a, а четвертый 2b;a;c. Также было утено, что медианы делят друг друга в отношении 2 к 1. С помощью алгебраических преобразований получим a=b=e, также получим d=c. Из последнего следует, что треугольник равнобедренный. Из этого одна из медиан также является и биссектрисой. В данном треугольнике три угла равны, значит, он правильный

  2
8 года 7 месяца назад #

Вы пользуетесь тем, что радиусы ОПИСАННЫХ окружностей равны, а нужно, чтобы радиусы вписанных должны быть равны.

  3
8 года 7 месяца назад #

Ладно, пусть радиусы вписанных окружностей равны, воспользуемся r=Sp, это значит, что полупериметры, а значит и периметры у этих треугольников равны. Получим 2a+b+d=b+2e+d=2e+c+a=2b+a+c, ;из чего и следует a=e=b и d=c. Дальше размышления как в случан с описанной

  2
8 года 7 месяца назад #

Опять же, в условии задачи их 4 из 6 треугольников. Вы берете только те, которые хотите взять. А нужно рассмотреть все возможные варианты. Понимаете в чем недочет решения?

  1
6 года 5 месяца назад #

M,N,T середины сторон BC,AB,AC соотвественно, O- точка их пересечения.

Рассмотрим 2 случая, остальные аналогичны.

1) Без ограничения общности положим что равные окружности вписаны в треугольники BOM,COM,COT,TOA.

Учитывая формулу r=Sp и то что медиана делит треугольник на равные по площади треугольника откуда BO=CO и CO=AO откуда BMA=CTB=90 значит AB=AC=BC.

2) Пусть равные окружности расположены TOA,AON,BON,BOM тогда по той же формуле и равенств площадей BO=AO значит CNB=90 откуда BC=AC.

Тогда треугольники COM,COT равны, значит вписанные в них окружности так же равны. С другой стороны равенство TOA,AON по выше описанным соображениям возможно когда окружности вписанные в BOM,COM равны, значит AB=BC=AC.