Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Для начала вспомним , что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Учитывая это, и то , что радиусы описанных окружностей 4 из них равны, также учитывая R=abc4S, получим 'abd=bed=eca=bac, где стороны первого треугольника равны 2а;b;d, второго, имеющего с первым общую сторону b,равны b;2e;d, третий имеет стороны 2e;c;a, а четвертый 2b;a;c. Также было утено, что медианы делят друг друга в отношении 2 к 1. С помощью алгебраических преобразований получим a=b=e, также получим d=c. Из последнего следует, что треугольник равнобедренный. Из этого одна из медиан также является и биссектрисой. В данном треугольнике три угла равны, значит, он правильный
M,N,T середины сторон BC,AB,AC соотвественно, O- точка их пересечения.
Рассмотрим 2 случая, остальные аналогичны.
1) Без ограничения общности положим что равные окружности вписаны в треугольники BOM,COM,COT,TOA.
Учитывая формулу r=Sp и то что медиана делит треугольник на равные по площади треугольника откуда BO=CO и CO=AO откуда ∠BMA=∠CTB=90∘ значит AB=AC=BC.
2) Пусть равные окружности расположены TOA,AON,BON,BOM тогда по той же формуле и равенств площадей BO=AO значит ∠CNB=90∘ откуда BC=AC.
Тогда треугольники COM,COT равны, значит вписанные в них окружности так же равны. С другой стороны равенство TOA,AON по выше описанным соображениям возможно когда окружности вписанные в BOM,COM равны, значит AB=BC=AC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.