Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс

Число $N$ равно произведению 200 различных натуральных чисел. Докажите, что $N$ имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$).

Комментарий/решение

Число делителей числа $N$ не меньше, чем у числа $M=1 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{199}$, тогда $\tau \left( M \right) = 2^{199} > 19901$.

Чтобы минимизировать количество делителей можно взять единицу и степени простого числа от 1 до 199. В таком случае количество делителей будет равно 1+(1+2+3+...+199)=19901.