Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып
P(x)=x3+ax2+bx+c көпмүшесі үш түрлі нақты түбірге ие,ал P[Q(x)] көпмүшесі, Q(x)=x2+x+2003 нақты түбірлері жоқ. P(2003)>164 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
P(x)=x3+ax2+bx+c=(x−x1)(x−x2)(x−x3)
P(x2+x+2003)=(x2+x+2003−x1)(x2+x+2003−x2)(x2+x+2003−x3)
x2+x+2003−xi=0,i=1,2,3
D=1−4⋅2003+4xi<0⇒xi<2003−14
x=2003⇒P(2003)=(2003−x1)(2003−x2)(2003−x3)>(2003−x1)(2003−x2)(2003−x3)>
>(2003−(2003−14))(2003−(2003−14))(2003−(2003−14))=(14)3=164
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.