Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс

Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 +bx + c$ имеет три различных действительных корня, а многочлен $P[ Q(x)]$, где $Q(x) = x^2 + x + 2003$, действительных корней не имеет. Докажите, что $P(2003) >\frac{1}{64}$.

Комментарий/решение

$$ P(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$

$$ P(x^2+x+2003)=(x^2+x+2003-x_1)(x^2+x+2003-x_2)(x^2+x+2003-x_3)$$

$$ x^2+x+2003-x_i=0 , \quad i=1,2,3$$

$$ D=1-4\cdot 2003+4x_i<0\Rightarrow x_i<2003-\frac{1}{4}$$

$$ x=2003 \Rightarrow P(2003)=(2003-x_1)(2003-x_2)(2003-x_3)>(2003-x_1)(2003-x_2)(2003-x_3)>$$

$$>(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$