Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Есеп №1. Тіктөртбұрыштың ұзындығын $10 \%$-ке қысқартқан, енін $20 \%$-ке қысқартқан. Осы кезде онын периметрі $12 \%$-ке азайған. Егер тіктөртбұрыштың ұзындығын $20 \%$-ке қысқартса, ал енін $10 \%$-ке қысқартса, оның периметрі қанша процентке қысқарады?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $3\times 3$ тақтаның әр шаршысында натурал саннан жазылған. Онымен қатар барлық сандар бір-бірінен өзгеше және ешқайсысы бірге де, нөлге тең емес. Кез келген шаршыдағы сан оған қабырға бойынша көрші санның бөлгіші екені белгілі. Берілген сандар ішінде ең көп дегенде қанша жай сан болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жазықтықта жатқан қандай да бір нүкте сол жазықтықта жатқан квадраттың төбесінен 1, 1, 2 және 3 қашықтықта жата ал ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кофейняда 55 үндіс пен түрік кездесті. Оның әрқайсысы немесе шәй, немесе кофе ішіп отырды. Әр үндіс шәй ішіп отырғанда шындықты айтады, ал кофе ішіп отырғанда өтірік айтады. Ал түріктерде керісінше. «Сіз кофе ішіп жатырсыз ба?» — деген сұраққа, 44 адам «ия» деп жауап берді. Ал «Сіз түріксіз ба?» — деген сұраққа 33 адам «ия» деп жауап берді. «Далада жаңбыр жауып жатыр» деген тұжырыммен 22 адам келісті. Кофейняда қанша үндіс шәй ішіп жатыр?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Үшбұрыштың әр қабырғасы 2008 тең бөлікке бөлінген. Қабырғадағы әр бөлген нүктеден қалған екі қабырғаға параллель түзу жүргізілген. Сонда үшбұрыш тең үшбұрыштар алаңына бөлінген. Екі көрші параллель түзудің арасындағы алаңды және үшбұрыш төбесіндегі жалғыз үшбұрыш алаңды жол деп атайық. Петя мен Вася кезектесіп бос алаңға $1$ немесе $-1$ санын қояды. Барлық алаң толғаннан кейін әр жолдағы сандар көбейтіндісі есептелінеді. Егер теріс көбейтінділер саны жұп болса, онда Петя ұтады. Кері жағдайда Вася ұтады. Ойынды Петя бастаса, дұрыс ойында кім ұтады?
комментарий/решение(1)