Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, IV тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. Нет. Решение. По условию точка $O$ равноудалена от двух вершин некоторого квадрата $ABCD$. Возможны два случая. 1) Пусть точка $O$ равноудалена от двух соседних вершин квадрата (пусть это вершины $A$ и $B$). Тогда она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Но он же является серединным перпендикуляром и к стороне $CD$, то есть точка $О$ должна быть равноудалена также и от точек $C$ и $D$, что, очевидно, невозможно. 2) Пусть точка $O$ равноудалена от двух противоположных вершин квадрата (пусть это вершины $A$ и $C$). Тогда она лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, то есть на прямой $BD$. Снова рассмотрим два возможных случая. 2а) Точка $O$ лежит на диагонали $BD$. Тогда $AB = BD = OB+OD = 5 > 2 = OA+OB$, что невозможно. 2б) Точка $O$ лежит на продолжении диагонали $BD$ (пусть, для определённости, за точку $D$). Тогда в треугольнике $ADO$ против тупого угла $D$ лежит сторона $OA = 1 < 2 \leq OD$, что также невозможно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.