Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Жазықтықта жатқан қандай да бір нүкте сол жазықтықта жатқан квадраттың төбесінен 1, 1, 2 және 3 қашықтықта жата ал ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. По условию точка $O$ равноудалена от двух вершин некоторого квадрата $ABCD$. Возможны два случая.
1) Пусть точка $O$ равноудалена от двух соседних вершин квадрата (пусть это вершины $A$ и $B$). Тогда она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Но он же является серединным перпендикуляром и к стороне $CD$, то есть точка $О$ должна быть равноудалена также и от точек $C$ и $D$, что, очевидно, невозможно.
2) Пусть точка $O$ равноудалена от двух противоположных вершин квадрата (пусть это вершины $A$ и $C$). Тогда она лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, то есть на прямой $BD$. Снова рассмотрим два возможных случая.
2а) Точка $O$ лежит на диагонали $BD$. Тогда $AB = BD = OB+OD = 5 > 2 = OA+OB$, что невозможно.
2б) Точка $O$ лежит на продолжении диагонали $BD$ (пусть, для определённости, за точку $D$). Тогда в треугольнике $ADO$ против тупого угла $D$ лежит сторона $OA = 1 < 2 \leq OD$, что также невозможно.