Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма трех полученных остатков оказалась равна 39. Докажите, что остаток, полученный при делении на 3 равен 1.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все значения параметра

$p$ , для которых существуют ровно два целых значения

$x$ , удовлетворяющих неравенству

$x^2+5\sqrt2 x+p<0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Последовательности

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$\ldots$ и

$y_1$ ,

$y_2$ ,

$\ldots$ заданы условиями

$x_1 =\frac{1}{8}$ ,

$y_1 =\frac{1}{10}$ ,

$x_{n+1} = x_n + x_n^2$ ,

$y_{n +1} = y_n + y_n^2$ . Докажите, что числа

$x_m$ и

$y_n$ не равны ни при каких натуральных

$m$ и

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В трапеции

$ABCD$ с основаниями

$AD$ и

$BC$ угол

$A$ прямой,

$E$ — точка пересечения диагоналей, точка

$F$ — проекция

$Е$ на сторону

$AB$ . Докажите, что углы

$DFE$ и

$CFE$ равны.
комментарий/решение(1)