Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Бір натурал санды қалдықпен 3-ке, 18-ге және 48-ге бөлді. Алынған үш қалдықтың қосындысы 39-ға тең болып шықты. 3-ке бөлген кездегі алынған қалдықтың 1-ге тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$p$ параметрінің барлық мәнін табыңыз, егер мына теңсіздікті қанағаттандыратын

$x$ -тың тура бүтін екі мәні болса:

${{x}^{2}}+5\sqrt{2x}+p < 0.$
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots$ және

${{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots$ тізбектері, мынадай шарттармен берілген:

${{x}_{1}}=\dfrac{1}{8}$ ,

${{y}_{1}}=\dfrac{1}{10}$ ,

${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+x_{n}^{2},$

${{y}_{n+1}}={{y}_{n}}+y_{n}^{2}.$ Кез келген натурал

$m$ және

$n$ сандары үшін

${{x}_{m}}$ және

${{y}_{n}}$ сандарының тең емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABCD$ трапециясында

$AD$ және

$BC$ — табандары,

$A$ бұрышы тік,

$E$ — диагональдардың қиылысу нуктесі,

$F$ нүтесі —

$AB$ қабырғасына түсірілген проекция табаны.

$DFE$ мен

$CFE$ бұрыштарының тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)