Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 9 класс

Последовательности $x_1$, $x_2$, $\ldots$ и $y_1$, $y_2$, $\ldots$ заданы условиями $x_1 =\frac{1}{8}$, $y_1 =\frac{1}{10}$, $x_{n+1} = x_n + x_n^2$, $y_{n +1} = y_n + y_n^2$. Докажите, что числа $x_m$ и $y_n$ не равны ни при каких натуральных $m$ и $n$.

Комментарий/решение

Для начала заметим, что число $x_{a}=(1+x_{a-1})x_{a-1}=(1+x_{a-1})(1+x_{a-2})x_{a-2}=...=(1+x_{a-1})(1+x_{a-2})\cdot ...\cdot(1+x_{1})x_{1}=((1+x_{a-1})(1+x_{a-2})\cdot ...\cdot(1+x_{1}))\cdot \frac{1}{8}$. Значит, знаменатель числа $x_{a}, a = 1, 2, ...$ всегда кратен восьми.

Аналогично, знаменатель числа $y_{a}, a = 1, 2, ...$ всегда кратен десяти.

Предположим, что $x_{m}$ = $y_{n}$. Тогда получим, что $x_{m-1}$ = $y_{n-1}$. Давайте попробуем доказать это.

$x_{m-1}+x_{m-1}^2=x_{m}=y_{n}=y_{n-1}+y_{n-1}^2 \Rightarrow$

$x_{m-1}+x_{m-1}^2=y_{n-1}+y_{n-1}^2 \Rightarrow$

Давайте будем считать, что $x_{m-1}\ne y_{n-1}$. Тогда

$x_{m-1}+1\ne y_{n-1}+1$

$x_{m-1}(x_{m-1}+1)\ne y_{n-1}(y_{n-1}+1)$. Противоречие. Значит, $x_{m-1}$ = $y_{n-1}$.

Понятно, что и $x_{m-k} = y_{n-k}$. Для натурального k, который между $min(m,n)<k<max(m,n)$.

1) При $m=n$.

$x_{m-(n-1)} = y_{n-(n-1)}\Rightarrow$

$x_{1} = y_{1}\Rightarrow$

$\frac{1}{8}= \frac{1}{10}$. Чего не может быть.

2) При $m>n$.

$x_{m-(n-1)} = y_{1}=\frac{1}{10}$. Это невозможен, так как знаменатель числа $x_{a)}, a = 1, 2, ...$ всегда кратен восьми.

3) При $m>n$. Как и в втором пункте,

$y_{n-(m-1)} = x_{1}=\frac{1}{8}$. Что так же невозможен, так как знаменатель числа $y_{a)}, a = 1, 2, ...$ всегда кратен десяти.

Все три случая противоречивы к предположению, следовательно $x_{m}\ne y_{n}$ ни при каких натуральных $m$ и $n$.